Случайные величины: математическое ожидание и дисперсия — 11 класс

Вероятности как веса значений

Конечное распределение задаёт значения x и их вероятности p. Вероятности неотрицательны и дают сумму 1. Математическое ожидание EX — сумма произведений x · p; разные значения не усредняют равновесно, если вероятности различны.

Ожидание суммы равно сумме ожиданий даже без независимости. Для постоянных a и b: E(aX+b) = aEX+b. Чистый результат лотереи равен выплате минус стоимость участия. Ожидание не обещает такой результат каждого отдельного опыта.

Дисперсия DX — взвешенная сумма квадратов отклонений x−EX. Равнозначно DX = E(X²)−(EX)². Здесь E(X²) — сумма x² · p, а не квадрат ожидания. Стандартное отклонение σ — неотрицательный квадратный корень из дисперсии; одинаковые ожидания не гарантируют одинаковой дисперсии.

Если X — число успехов в n независимых испытаниях с постоянной p, то EX=np, DX=np(1−p). Если Y — число независимых испытаний до первого успеха, включая успешное, при 0<p≤1, то EY=$\frac{\text{1}}{\text{p}}$, DY=$\frac{\text{1−p}}{\text{p²}}$. У этих величин разные значения и разные моменты.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

1. В учебной лотерее A чистый результат X равен −10 жетонов с вероятностью 0,5 и 30 жетонам с вероятностью 0,5. В лотерее B чистый результат Y равен 0, 10, 20 жетонам с вероятностями 0,25; 0,5; 0,25. Составь таблицы «значение — вероятность — вклад в ожидание — вклад в дисперсию». Сравни математические ожидания и дисперсии. Объясни, почему равное ожидание не означает одинакового результата каждого участия или одинакового разброса.

   Разбор и ориентиры для проверки

   A: отклонения от 10 равны −20 и 20, оба квадрата 400, их взвешенная сумма 400. B: квадраты отклонений 100, 0, 100 с весами 0,25; 0,5; 0,25 дают 50. Критерии: вероятности и вклады отражены в таблицах, оба ожидания 10, дисперсии рассчитаны с весами, названо различие долгосрочного среднего и отдельного исхода, одинаковый центр отделён от разного риска по разбросу.

   Проверь: EX = EY = 10 жетонов. DX = 400, DY = 50 квадратных жетонов.

2. В учебной модели каждая проверяемая деталь имеет дефект с вероятностью 0,4, дефекты независимы. X — число дефектов в заранее выбранных восьми деталях. Y — число проверок до первого дефекта, включая эту проверку. Для каждой величины укажи распределение, множество возможных значений, математическое ожидание и дисперсию. Для Y дополнительно выпиши вероятности значений 1, 2, 3 и вероятность Y ≥ 4. Объясни, почему величины нельзя подменять друг другом.

   Разбор и ориентиры для проверки

   X считает успехи в фиксированной серии: np = 8 · 0,4 = 3,2, np(1−p) = 1,92. Y считает испытания до остановки: $\frac{\text{1}}{\text{p}}$ = 2,5, $\frac{\text{1−p}}{\text{p²}}$ = 3,75. Для Y = k нужны k−1 годных деталей и дефект, для Y ≥ 4 — три начальные годные детали, их вероятность 0,6³ = 0,216. Критерии: объекты счёта и диапазоны различены, четыре момента верны, начальные вероятности и хвост воспроизводят модель, конечное число успехов не названо числом проверок до первого успеха.

   Проверь: X — биномиальная, значения 0–8, EX = 3,2, DX = 1,92. Y — геометрическая, значения 1, 2, …, EY = 2,5, DY = 3,75. Для Y = 1, 2, 3 вероятности 0,4; 0,24; 0,144; P(Y ≥ 4) = 0,216.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке