Математика · 11 класс

Действия с векторами в пространстве: 11 класс

Складывай пространственные векторы, применяй правило параллелепипеда и находи разложение по трём направлениям. 16 коротких заданий и две письменные работы для 11 класса.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

При выдаче проверим вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Сохрани направление каждого вектора

Сумму можно построить последовательным откладыванием векторов. Для трёх векторов с общим началом используй правило параллелепипеда.

В обозначении направленного отрезка первая буква — начало, вторая — конец. Смена направления меняет знак.

Три некомпланарных вектора задают единственное разложение любого пространственного вектора. Равенство векторов проверяй по всем трём коэффициентам.

Выбери общее начало и вырази положение каждой точки. Вектор между двумя точками получается вычитанием вектора начала из вектора конца.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

В невырожденном тетраэдре OABC векторы OA, OB, OC обозначены a, b, c. M — середина AB, а N делит OC так, что ON : NC = 2 : 1. Вырази MN через a, b, c, построй его на эскизе и объясни единственность разложения.
Разбор и ориентиры для проверки
$\vec{OM}$ = $\frac{1}{2}$ ( $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ), $\vec{ON}$ = $\frac{2}{3}$ $\vec{c}$ . Вычитание вектора OM из ON даёт искомое разложение. Критерии: положения M и N, направление от M к N, все три коэффициента, невырожденность тетраэдра как основание некомпланарности и единственности.
Проверь: $\vec{MN}$ = − $\frac{1}{2}$ $\vec{a}$ − $\frac{1}{2}$ $\vec{b}$ + $\frac{2}{3}$ $\vec{c}$ .
В кубе ABCDEFGH нижняя грань ABCD, верхняя EFGH, боковые рёбра AE, BF, CG, DH. Пусть $\vec{a}$ = $\vec{AB}$ , $\vec{b}$ = $\vec{AD}$ , $\vec{c}$ = $\vec{AE}$ . P — центр грани BCGF, Q — середина DH. Найди полное разложение вектора 6PQ по a, b, c и обоснуй каждый коэффициент по фигуре.
Разбор и ориентиры для проверки
$\vec{AP}$ = $\vec{a}$ + $\frac{1}{2}$ $\vec{b}$ + $\frac{1}{2}$ $\vec{c}$ , $\vec{AQ}$ = $\vec{b}$ + $\frac{1}{2}$ $\vec{c}$ . Разность равна − $\vec{a}$ + $\frac{1}{2}$ $\vec{b}$ ; после умножения на 6 получаем ответ. Критерии: выбор центров и середины, направление PQ, полный вектор с нулевым третьим коэффициентом, объяснение через некомпланарный базис.
Проверь: 6 $\vec{PQ}$ = −6 $\vec{a}$ + 3 $\vec{b}$ .

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Действия в трёх направлениях

Раскрой скобки и собери коэффициенты.

Векторы $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ некомпланарны. Пусть $\vec{u}$ = 2 $\vec{a}$ − $\vec{b}$ + 3 $\vec{c}$ , $\vec{v}$ = − $\vec{a}$ + 4 $\vec{b}$ − 2 $\vec{c}$ . Найди коэффициент при $\vec{c}$ в разложении 3 $\vec{u}$ − 2 $\vec{v}$ . Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 13
3 $\vec{u}$ − 2 $\vec{v}$ = 8 $\vec{a}$ − 11 $\vec{b}$ + 13 $\vec{c}$ . Некомпланарность обеспечивает единственность коэффициентов.
Векторы $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ некомпланарны. Пусть $\vec{u}$ = $\vec{a}$ + 2 $\vec{b}$ − $\vec{c}$ , $\vec{v}$ = 3 $\vec{a}$ − $\vec{b}$ + 2 $\vec{c}$ . Найди коэффициент при $\vec{a}$ в разложении 2( $\vec{u}$ − $\vec{v}$ ) + 3 $\vec{c}$ . Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −4
Разность u − v = −2a + 3b − 3c. Умножение на 2 и прибавление 3c даёт −4a + 6b − 3c; искомый коэффициент −4.
Векторы $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ некомпланарны. Известно $\vec{w}$ + 2 $\vec{u}$ = $\vec{v}$ , где $\vec{u}$ = 2 $\vec{a}$ − $\vec{b}$ + $\vec{c}$ , $\vec{v}$ = − $\vec{a}$ + 3 $\vec{b}$ + 4 $\vec{c}$ . Найди коэффициент при $\vec{b}$ в разложении $\vec{w}$ . Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
w = v − 2u = −5a + 5b + 2c. При вычитании 2u знак коэффициента при b меняется; получается 3 − 2 · (−1) = 5.
Векторы $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ некомпланарны. Пусть $\vec{u}$ = $\vec{a}$ − 2 $\vec{b}$ + $\vec{c}$ , $\vec{v}$ = 3 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ − 4 $\vec{c}$ . Найди коэффициент при $\vec{c}$ в разложении $\vec{u}$ − 2 $\vec{v}$ . Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 9
u − 2v = −5a − 4b + 9c. Коэффициент при c равен 1 − 2 · (−4) = 9.

Потренировать эту тему →

Правило параллелепипеда

Используй рисунок и направления, а не видимые длины проекции.

В кубе ABCDEFGH нижняя грань ABCD, верхняя EFGH, боковые рёбра AE, BF, CG, DH. Пусть $\vec{a}$ = $\vec{AB}$ , $\vec{b}$ = $\vec{AD}$ , $\vec{c}$ = $\vec{AE}$ . Запиши $\vec{BH}$ = p $\vec{a}$ + q $\vec{b}$ + r $\vec{c}$ . Найди p. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −1
От A к H идут по AD и DH: $\vec{AH}$ = $\vec{b}$ + $\vec{c}$ . Вычитаем $\vec{AB}$ = $\vec{a}$ : $\vec{BH}$ = − $\vec{a}$ + $\vec{b}$ + $\vec{c}$ , p = −1.
В кубе ABCDEFGH нижняя грань ABCD, верхняя EFGH, боковые рёбра AE, BF, CG, DH. Пусть $\vec{a}$ = $\vec{AB}$ , $\vec{b}$ = $\vec{AD}$ , $\vec{c}$ = $\vec{AE}$ . Разложи $\vec{AG}$ + 2 $\vec{DB}$ − $\vec{EF}$ по $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ . Найди коэффициент при $\vec{a}$ . Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 2
AG = a + b + c, DB = a − b, EF = a. Выражение равно 2a − b + c; искомый коэффициент 2.
В кубе ABCDEFGH нижняя грань ABCD, верхняя EFGH, боковые рёбра AE, BF, CG, DH. Пусть $\vec{a}$ = $\vec{AB}$ , $\vec{b}$ = $\vec{AD}$ , $\vec{c}$ = $\vec{AE}$ . Разложи $\vec{EC}$ + 3 $\vec{FG}$ по $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ . Найди коэффициент при $\vec{b}$ . Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
EC = a + b − c, FG = b. Поэтому сумма a + 4b − c, искомый коэффициент 4.
В кубе ABCDEFGH нижняя грань ABCD, верхняя EFGH, боковые рёбра AE, BF, CG, DH. Пусть $\vec{a}$ = $\vec{AB}$ , $\vec{b}$ = $\vec{AD}$ , $\vec{c}$ = $\vec{AE}$ . O — центр куба. Разложи 2 $\vec{FO}$ по $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ . Найди коэффициент при $\vec{c}$ . Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −1
AO = $\frac{1}{2}$ (a + b + c), AF = a + c. Удвоенная разность AO − AF равна −a + b − c; третий коэффициент −1.

Потренировать эту тему →

Разложение в тетраэдре

Начало базисных векторов выбирается в условии.

В невырожденном тетраэдре SABC $\vec{a}$ = $\vec{SA}$ , $\vec{b}$ = $\vec{SB}$ , $\vec{c}$ = $\vec{SC}$ . M — середина AB, N — середина SC. Найди коэффициент при $\vec{b}$ в разложении 4 $\vec{MN}$ . Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −2
$\vec{SM}$ = $\frac{1}{2}$ ( $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ), $\vec{SN}$ = $\frac{1}{2}$ $\vec{c}$ . Поэтому 4 $\vec{MN}$ = −2 $\vec{a}$ − 2 $\vec{b}$ + 2 $\vec{c}$ .
В невырожденном тетраэдре SABC a = SA, b = SB, c = SC — векторы. G — точка пересечения медиан ABC, M — середина SA. Найди коэффициент при a в разложении 6MG по a, b, c; MG — вектор от M к G. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −1
SG = $\frac{1}{3}$ (a + b + c), SM = $\frac{1}{2}$ a. Поэтому 6MG = −a + 2b + 2c. Формула SG следует из деления медианы треугольника в отношении 2 : 1.
В невырожденном тетраэдре SABC a = SA, b = SB, c = SC — векторы. M лежит на AB, AM : MB = 2 : 1, N — середина AC. Найди коэффициент при c в разложении 6MN по a, b, c; MN — вектор от M к N. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
SM = $\frac{1}{3}$ a + $\frac{2}{3}$ b, SN = $\frac{1}{2}$ (a + c). Поэтому 6MN = a − 4b + 3c, третий коэффициент 3.
В невырожденном тетраэдре SABC a = SA, b = SB, c = SC — векторы. M — точка пересечения медиан SAB, N лежит на SC, SN : NC = 1 : 3. Найди коэффициент при b в разложении 12MN по a, b, c; MN — вектор от M к N. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −4
SM = $\frac{1}{3}$ (a + b), SN = $\frac{1}{4}$ c. Вычитаем SM из SN и умножаем на 12: −4a − 4b + 3c. Коэффициент при b равен −4.

Потренировать эту тему →

Восстанови разложение

Сравни коэффициенты в одном базисе.

Векторы $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ некомпланарны. Известно k( $\vec{a}$ − 2 $\vec{b}$ + $\vec{c}$ ) + (3 $\vec{a}$ + m $\vec{b}$ − 4 $\vec{c}$ ) = 5 $\vec{a}$ − 7 $\vec{b}$ − 2 $\vec{c}$ . Найди m. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −3
Коэффициент при a даёт k + 3 = 5, поэтому k = 2. Коэффициент при b: −4 + m = −7, m = −3. При c: 2 − 4 = −2, условие согласовано.
Векторы $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ некомпланарны. Пусть $\vec{u}$ = $\vec{a}$ + k $\vec{b}$ + $\vec{c}$ , $\vec{v}$ = 3 $\vec{a}$ − 2 $\vec{b}$ + m $\vec{c}$ . Известно $\vec{v}$ = 3 $\vec{u}$ . Найди k. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: − $\frac{2}{3}$
Сравнение коэффициентов при b даёт 3k = −2, поэтому k = − $\frac{2}{3}$ . При a равенство выполнено, при c необходимо m = 3, что согласуется с условием.
Векторы $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ некомпланарны. При каком k вектор 2 $\vec{a}$ + k $\vec{b}$ + 3 $\vec{c}$ можно представить линейной комбинацией векторов $\vec{a}$ − 2 $\vec{b}$ и $\vec{c}$ ? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −4
Запись p(a − 2b) + qc имеет коэффициенты (p; −2p; q). Из первого p = 2, из третьего q = 3, поэтому второй должен быть k = −4.
Векторы $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ некомпланарны. Известно (p + 1) $\vec{a}$ + (2q − 3) $\vec{b}$ + (r + 2) $\vec{c}$ = 4 $\vec{a}$ + 7 $\vec{b}$ − 5 $\vec{c}$ . Найди q. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
Единственность разложения даёт p + 1 = 4, 2q − 3 = 7, r + 2 = −5. Отсюда p = 3, q = 5, r = −7; запрошено q.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Числовое поле принимает целое число, точную десятичную запись и равную обыкновенную дробь. В выборе нужен один вариант с полным ответом. ОДЗ и преобразования проверяй по разбору; краткая автопроверка не оценивает ход решения. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: 11 класс: содержание с. 33–34, результаты с. 36, планирование с. 53–54. Дата сверки — 25 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Содержание — по ФРП 2025. Учебник из федерального перечня № 436: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др., «Математика. Геометрия. 10–11 классы», базовый и углублённый уровни, Просвещение. Прочитаны методические рекомендации издателя, 2023, с. 32–33, пп. 63–70; сами целевые параграфы учебника законно не прочитаны. Задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 26 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Сохрани направление каждого вектора

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Действия в трёх направлениях

Правило параллелепипеда

Разложение в тетраэдре

Восстанови разложение

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме