Математика · 8 класс

Смеси: составь модель двух последовательных замен

Составляй квадратные уравнения по двум последовательным заменам однородной смеси. Сохраняй массу вещества, находи допустимый корень и проверяй ответ.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

При выдаче проверим вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Считай массу вещества после каждого шага

Массовая доля равна массе выбранного вещества, делённой на массу смеси. Долю 18% в уравнении записывают как 0,18. Отдельно назови вещество: сахар, металл или другой компонент.

Перед каждым отбором смесь однородна. Если её масса M и доля вещества c, в отобранных x килограммах содержится cx килограммов вещества. После отбора остаются M − x килограммов смеси и c(M − x) килограммов вещества.

При добавлении x килограммов другой смеси с долей p добавляется px килограммов вещества. Общая масса снова M. Найди новую долю и именно её используй при втором отборе: состав уже изменился.

При двух одинаковых заменах итоговая доля равна p + (c − p)⁠(1 − $\frac{x}{M}$ )². Можно не использовать готовую формулу: запиши баланс массы вещества на каждом шаге. При замене водой p = 0, при замене чистым выбранным веществом p = 1.

Укажи ограничения 0 < x < M. Если неизвестна M, она больше массы одного отбора. Реши уравнение, отбрось недопустимые корни и проверь оба шага; два отбора не заменяются одним отбором удвоенной массы.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

В однородном сплаве массой 80 кг содержится 20% меди. Дважды отбирали x кг сплава и добавляли x кг чистой меди. После каждого добавления сплав переплавляли и равномерно перемешивали; потерь массы нет. Общая масса после каждой замены 80 кг, конечная массовая доля меди 55%. Найди x при 0 < x < 80. Запиши баланс каждого шага, уравнение и отбор корня.
Разбор и ориентиры для проверки
Изначально 16 кг меди. После первого отбора и добавления меди её масса 16 − 0,2x + x = 16 + 0,8x. После второго: (16 + 0,8x)⁠(1 − $\frac{x}{80}$ ) + x = 44. Получаем x² − 160x + 2800 = 0, корни 20 и 140. Условие 0 < x < 80 оставляет 20. Проверка: после первого шага 32 кг меди (40%), после второго 44 кг (55%). Критерии: верный баланс обоих шагов, новая доля при втором отборе, квадратная модель, ограничения и отбор, проверка; равносильная модель допустима.
Проверь: За один раз заменяли 20 кг.
В 72 кг однородного 50%-го раствора сахара дважды заменяли x кг раствора таким же количеством воды, после каждой замены восстанавливая массу до 72 кг и перемешивая. Конечная доля сахара 32%, 0 < x < 72. Ученик записал 0,5(72 − 2x) = 0,32 · 72 и получил x = 12,96. Проверь его модель, составь верную и найди массу одного отбора.
Разбор и ориентиры для проверки
Первый отбор оставляет 0,5(72 − x) кг сахара. При втором остаётся доля 1 − $\frac{x}{72}$ этой массы: 0,5(72 − x)⁠(1 − $\frac{x}{72}$ ) = 0,32 · 72. Равносильно 0,5(1 − $\frac{x}{72}$ )² = 0,32. Корни 14,4 и 129,6, подходит 14,4. Проверка: 36 → 28,8 → 23,04 кг сахара, конечная доля 32%. Критерии: объяснена ошибка одинаковой концентрации двух отборов; баланс двух шагов; квадратная модель; ограничения и отбор; проверка. Другой равносильный способ допустим.
Проверь: Модель неверна: при втором отборе доля сахара уже другая. Один отбор — 14,4 кг.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Две замены водой

Перед вторым отбором смесь перемешивают; второй отбор имеет новую концентрацию.

Из 40 кг однородного 25%-го раствора сахара отобрали x кг и добавили столько же воды. После перемешивания снова отобрали x кг и добавили столько же воды. Получили 16%-й раствор. Масса после каждой замены 40 кг, 0 < x < 40. Сколько килограммов отбирали за один раз? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 8
После первого шага доля 0,25(1 − $\frac{x}{40}$ ), после второго 0,25(1 − $\frac{x}{40}$ )² = 0,16. Получаем x² − 80x + 576 = 0, корни 8 и 72. Подходит 8. Доли: 25% → 20% → 16%.
В 60 кг однородного 18%-го раствора сахара дважды заменяли x кг раствора таким же количеством воды, перемешивая после каждой замены. Масса каждый раз снова 60 кг. В конце получили 8%-й раствор. Найди x при 0 < x < 60. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 20
0,18(1 − $\frac{x}{60}$ )² = 0,08. Получаем x² − 120x + 2000 = 0, корни 20 и 100. Подходит 20 кг; доли 18% → 12% → 8%.
Из 90 кг однородного 20%-го раствора сахара дважды отбирали одну и ту же массу x кг и каждый раз добавляли x кг воды. Перед вторым отбором раствор перемешали. Общая масса после каждой замены 90 кг, конечная доля сахара 5%. Найди x при 0 < x < 90. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 45
0,20(1 − $\frac{x}{90}$ )² = 0,05, то есть (1 − $\frac{x}{90}$ )² = 0,25. Корни x = 45 и 135; подходит 45 кг. Каждый раз остаётся половина сахара: 20% → 10% → 5%.
В 50 кг однородного 16%-го раствора сахара дважды заменили одну и ту же массу раствора водой, каждый раз восстановив массу до 50 кг и перемешав. Конечная доля сахара 9%. Какую массу отбирали за один раз, если она меньше 50 кг?
Варианты: 1) 6,25 кг; 2) 12,5 кг; 3) 18,75 кг; 4) 25 кг
Ответ и объяснение
Ответ: 12,5 кг
Уравнение 0,16(1 − $\frac{x}{50}$ )² = 0,09 даёт (1 − $\frac{x}{50}$ )² = $\frac{9}{16}$ . При 0 < x < 50 остаётся положительный множитель $\frac{3}{4}$ , поэтому x = 12,5 кг. Доли: 16% → 12% → 9%.

Потренировать эту тему →

Добавление чистого компонента

Сплав после каждого добавления переплавляют и перемешивают; потерь массы нет.

В однородном сплаве массой 100 кг содержится 36% меди. Дважды заменяли x кг сплава таким же количеством чистой меди, после каждого добавления переплавляя и перемешивая без потерь. Масса каждый раз 100 кг, конечная доля меди 64%. Найди x при 0 < x < 100. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 25
Доля после двух замен 1 − 0,64(1 − $\frac{x}{100}$ )² = 0,64. Отсюда (1 − $\frac{x}{100}$ )² = $\frac{9}{16}$ . Корни 25 и 175, подходит 25 кг. Доли: 36% → 52% → 64%.
Из однородного сплава массой 80 кг с 25% меди дважды отбирали x кг и заменяли x кг чистой меди. После каждого добавления сплав переплавляли и перемешивали без потерь, восстанавливая массу до 80 кг. Конечная доля меди 73%. Найди x при 0 < x < 80. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 32
1 − 0,75(1 − $\frac{x}{80}$ )² = 0,73, поэтому (1 − $\frac{x}{80}$ )² = 0,36. Корни 32 и 128, подходит 32 кг. После первого шага меди 55%, после второго 73%.
В 90 кг однородного сплава 10% меди. Дважды заменили x кг сплава таким же количеством чистой меди; после каждого добавления сплав переплавили и перемешали, потерь нет. После каждой замены общая масса 90 кг. Конечная доля меди 60%. Найди x при 0 < x < 90. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 30
1 − 0,9(1 − $\frac{x}{90}$ )² = 0,6. Поэтому (1 − $\frac{x}{90}$ )² = $\frac{4}{9}$ . При 0 < x < 90 получаем 1 − $\frac{x}{90}$ = $\frac{2}{3}$ , x = 30. Доли: 10% → 40% → 60%.
В однородном сплаве массой 120 кг содержится 40% меди. Дважды заменяли одну и ту же массу сплава чистой медью, восстанавливая массу до 120 кг и переплавляя с перемешиванием после каждой замены. Потерь нет; конечная доля меди 61,6%. Какую массу заменяли за один раз, если она меньше 120 кг?
Варианты: 1) 12 кг; 2) 36 кг; 3) 48 кг; 4) 24 кг
Ответ и объяснение
Ответ: 24 кг
1 − 0,6(1 − $\frac{x}{120}$ )² = 0,616 даёт (1 − $\frac{x}{120}$ )² = 0,64. В допустимой области множитель равен 0,8, откуда x = 24 кг. Доли: 40% → 52% → 61,6%.

Потренировать эту тему →

Неизвестная исходная масса

Ограничение на общую массу проверяется по размеру одного отбора.

Из однородного 36%-го раствора сахара дважды отбирали по 6 кг и каждый раз добавляли 6 кг воды. После каждой замены раствор перемешивали; общая масса снова равна первоначальной. В конце получили 16%-й раствор. Сколько килограммов раствора было первоначально? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 18
Пусть M > 6. Уравнение 0,36(1 − $\frac{6}{M}$ )² = 0,16 даёт 5M² − 108M + 324 = 0. Корни 18 и 3,6; 3,6 меньше массы отбора. Подходит 18 кг. Доли: 36% → 24% → 16%.
Из однородного 25%-го раствора сахара дважды отбирали по 3 кг, добавляя каждый раз 3 кг воды и перемешивая. Масса раствора после каждой замены равна первоначальной; конечная доля сахара 16%. Найди первоначальную массу раствора в килограммах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 15
Пусть M > 3. 0,25(1 − $\frac{3}{M}$ )² = 0,16 приводит к 3M² − 50M + 75 = 0. Корни 15 и $\frac{5}{3}$ . Подходит 15 кг. Каждая замена сохраняет 0,8 массы сахара: 25% → 20% → 16%.
В однородном сплаве содержится 36% меди. Дважды отбирали по 7 кг сплава и добавляли по 7 кг чистой меди. После каждой замены сплав переплавляли и перемешивали без потерь; общая масса равна первоначальной. Конечная доля меди 64%. Найди первоначальную массу сплава в килограммах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 28
Пусть M > 7. Уравнение 1 − 0,64(1 − $\frac{7}{M}$ )² = 0,64 даёт M² − 32M + 112 = 0. Корни 28 и 4; подходит 28 кг. Доли: 36% → 52% → 64%.
Из однородного 60%-го раствора сахара дважды отбирали по 4 кг, добавляя каждый раз 4 кг воды. После каждой замены раствор перемешивали, общая масса снова равна первоначальной. Конечная доля сахара 15%. Какова первоначальная масса раствора?
Варианты: 1) 6 кг; 2) 12 кг; 3) 16 кг; 4) 8 кг
Ответ и объяснение
Ответ: 8 кг
Пусть M > 4. 0,6(1 − $\frac{4}{M}$ )² = 0,15. Множитель 1 − $\frac{4}{M}$ положителен и равен 0,5, откуда M = 8 кг. Второй корень $\frac{8}{3}$ меньше 4 кг. Доли: 60% → 30% → 15%.

Потренировать эту тему →

Замена другой смесью

Новая смесь приносит вещество; учитывай состав обеих смесей.

В 50 кг однородного 10%-го раствора сахара дважды заменяли одну и ту же массу x кг таким же количеством 50%-го раствора сахара. Перед вторым отбором смесь перемешали. После каждой замены общая масса 50 кг; в конце доля сахара 24,4%. Найди x при 0 < x < 50. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 10
0,5 + (0,1 − 0,5)⁠(1 − $\frac{x}{50}$ )² = 0,244. Получаем (1 − $\frac{x}{50}$ )² = 0,64. Корни 10 и 90, подходит 10 кг. Доли: 10% → 18% → 24,4%.
В 80 кг однородного 60%-го раствора сахара дважды заменяли x кг раствора таким же количеством 20%-го раствора сахара. После каждой замены общая масса 80 кг, раствор перемешан. Конечная доля сахара 42,5%. Найди x при 0 < x < 80. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 20
0,2 + (0,6 − 0,2)⁠(1 − $\frac{x}{80}$ )² = 0,425, поэтому (1 − $\frac{x}{80}$ )² = $\frac{9}{16}$ . Корни 20 и 140, подходит 20 кг. Доли: 60% → 50% → 42,5%.
В однородном сплаве массой 75 кг содержится 10% меди. Дважды заменяли x кг сплава таким же количеством другого сплава с 70% меди. После каждой замены сплав переплавляли и перемешивали без потерь; общая масса 75 кг. Конечная доля меди 36,25%. Найди x при 0 < x < 75. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 18,75
0,7 + (0,1 − 0,7)⁠(1 − $\frac{x}{75}$ )² = 0,3625 даёт (1 − $\frac{x}{75}$ )² = $\frac{9}{16}$ . Корни 18,75 и 131,25, подходит 18,75 кг. Доли: 10% → 25% → 36,25%.
В 100 кг однородного 50%-го раствора сахара дважды заменили одну и ту же массу раствора таким же количеством 10%-го раствора сахара. Каждый раз массу восстанавливали до 100 кг и перемешивали. Конечная доля сахара 32,5%. Какую массу заменяли за один раз, если она меньше 100 кг?
Варианты: 1) 25 кг; 2) 37,5 кг; 3) 50 кг; 4) 75 кг
Ответ и объяснение
Ответ: 25 кг
0,1 + 0,4(1 − $\frac{x}{100}$ )² = 0,325 даёт квадрат множителя $\frac{9}{16}$ . В допустимой области множитель равен $\frac{3}{4}$ , поэтому x = 25 кг. Доли: 50% → 40% → 32,5%.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

В числовом задании требуется краткий ответ: число без единицы измерения. Единица названа в вопросе. В выборе отметь один верный вариант. Автопроверка оценивает ответ; промежуточные действия и обоснование проверяй по разбору письменной работы. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 5–9 классы», базовый уровень, 2025: 8 класс: содержание с. 42–43; результаты с. 46; планирование с. 57. Дата сверки — 29 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Содержание — по ФРП. Учебник из федерального перечня № 436: Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и др., под редакцией С. А. Теляковского, «Математика. Алгебра. 8 класс», базовый уровень, Просвещение, 2026; ФПУ 1.1.2.7.1.4. Законный фрагмент с. 5–7 содержит рациональные выражения и допустимые значения; целевые параграфы решения задач не прочитаны. Задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 29 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Считай массу вещества после каждого шага

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Две замены водой

Добавление чистого компонента

Неизвестная исходная масса

Замена другой смесью

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме